Universidad Pública de Navarra - Nafarroako Univertsitate Publikoa

Módulo/Materia

Módulo de Formación Común Industrial / Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería

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Descripción/Contenidos

• Transformadas de Laplace. Propiedades. Cálculo de transformadas. Transformada inversa de Laplace. Propiedades y métodos de cálculo. Aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales e integrales. Aplicaciones en ingeniería.
• Series e integrales de Fourier. Forma compleja.
• Transformadas de Fourier. Propiedades. Cálculo de transformadas. Transformada inversa de Fourier. Fórmulas de inversión. Aplicaciones a la resolución de problemas de contorno. Aplicaciones en ingeniería.

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Competencias genéricas

CG3: Conocimiento en materias básicas y tecnológicas, que le capacite al estudiante para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías, y le dote de versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones.

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Competencias específicas

CFB1: Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.

CFB3: Conocimientos básicos sobre el uso y programación de los ordenadores, sistemas operativos, bases de datos y programas informáticos con aplicación en ingeniería.

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Resultados aprendizaje

Cuando termina la formación, el estudiante es capaz de:

• R1- Conocer los aspectos básicos de series numéricas y de potencias, integración impropia y paramétrica.
• R2 - Manejar  conceptos básicos de variable compleja: representación de números en C, funciones complejas de variable real y funciones elementales de variable compleja.
• R3 - Conocer los fundamentos de las transformadas de Laplace y de Fourier, así como la teoría de series de Fourier.
• R4 - Conocer conceptos y terminología básicos en ecuaciones en derivadas parciales. Clasificar las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales.
• R5 - Resolver problemas de ingeniería que se modelizan mediante ecuaciones diferenciales ordinarias usando transformadas de Laplace.
• R6 - Descomponer y analizar señales mediante el empleo de series de Fourier.
• R7 - Resolver algunas ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales utilizando separación de variables o transformadas integrales.

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Metodología

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Idiomas

Español e inglés

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Evaluación

El sistema de evaluación planteado contempla tres opciones para aprobar la asignatura: Opción 1: aprobar los dos exámenes parciales realizados en el periodo ordinario de clases. Opción 2: Aprobar el examen final programado en el periodo habitual para los mismos. Opción 3: Aprobar el examen de recuperación programado en el periodo habitual para los mismos. En las tablas subsiguientes se dan algunos detalles más sobre porcentajes, temas  implicados en algunas pruebas y tipología de las preguntas.

Opción 1:

Opción 2:

Opción 3:

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Temario

1. Complementos de Cálculo

   1.1 Sucesiones y series numéricas. Criterios de convergencia de series.
   1.2 Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia.
   1.3 Series de Taylor.
   1.4 Integrales impropias. Criterios de convergencia. Integrales paramétricas: derivación.
   1.5 Funciones eulerianas.  
   1.6 Prácticas de laboratorio.

2. Introducción a los números complejos

   2.1 El cuerpo C de los números complejos.
   2.2 Formas binomial y polar. Módulo y argumento. Fórmula de Euler.
   2.3 Funciones polinómicas. Teorema Fundamental del Álgebra.
   2.4 Funciones racionales. Ceros y polos.
   2.5 Funciones complejas de variable real: derivación e integración. Funciones complejas de variable compleja elementales.
   2.6 Prácticas de laboratorio.

3. Transformada de Laplace

   3.1 Definición y condiciones de existencia.
   3.2 Transformada inversa.
   3.3 Propiedades fundamentales.
   3.4 Convolución e impulso. Funciones de transferencia.
   3.5 Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, integro-diferenciales, de problemas de valor inicial y de contorno.
   3.6 Prácticas de laboratorio.

4. Series de Fourier

   4.1 Series de Fourier trigonométricas.
   4.2 Teoremas de convergencia. Identidad de Parseval.
   4.3 Extensiones periódicas, extensiones periódicas pares e impares.
   4.4 Espacios de Hilbert, sucesiones ortonormales y series de Fourier generalizadas.
   4.5 Prácticas de laboratorio.

5. Problemas de Sturm-Liouville

   5.1 Autovalores y autofunciones de operadores diferenciales lineales.
   5.2 Problemas regulares y periódicos. Propiedades de sus soluciones.
   5.3 Introducción a los problemas singulares: ejemplos de interés práctico; funciones especiales relacionadas.
   5.4 Prácticas de laboratorio.

6. Ecuaciones en derivadas parciales: separación de variables

   6.1 Nociones básicas sobre ecuaciones en derivadas parciales
   6.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. Clasificación y ejemplos.
   6.3 Ecuaciones del calor, de ondas y de Laplace.  
   6.4 Problemas de contorno. Método de separación de variables.
   6.5 Prácticas de laboratorio.

7. Transformada de Fourier
   7.1 Definición y ejemplos. Teorema integral de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue.
   7.2 Propiedades operacionales básicas.
   7.3 Convolución.
   7.4 Aplicaciones: resolución de ecuaciones diferenciales en dominios no acotados mediante transformadas integrales; problemas de potencial, transmisión de calor y vibraciones.
   7.5 Prácticas de laboratorio.
   

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Bibliografía

Acceda a la bibliografía que el profesorado de la asignatura ha solicitado a la Biblioteca.

Bibliografía básica

1. Kreyszig, E.O.: Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Limusa Wiley, cuarta edición, 2 volúmenes, 2013 (II v.) y 2016 (I v.).
2. Andrews, L.C. y Shivamoggi, B.K.: Integral transforms for engineers and applied mathematicians, MacMillan, 1988.
3. Nagle, R.K., Saff, E.B. y Snider, D.A.: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Pearson Educación, cuarta edición, 2005.

Bibliografía complementaria

1. O'Neil, P.V.: Matemáticas avanzadas para Ingeniería, Engage Learning, séptima edición, 2014.
2. Bracewell, R.N.: The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, tercera edición, 2000.

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Lugar de impartición

Aulario de la Universidad Pública de Navarra

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